## General linear groups of dimension at least 2 are nonabelian

Show that $GL_n(F)$ is nonabelian for all $n \geq 2$ and all fields $F$.

Recall that every field contains 0 and 1, and that $0 \neq 1$. Suppose now that $A, B$ are matrices in $GL_n(F)$ such that the first row of $A$ is $[1,0,\ldots,0,1]$, the first column of A is $[1,0,\ldots,0,0]$, the first row of $B$ is $[1,0,\ldots,0,0]$, and the first column of $B$ is $[1,0,\ldots,0,1]$. Such matrices always exist in $GL_n(F)$; for instance, take the identity matrix and change the $(1,n)$ or $(n,1)$ entry from 0 to 1. The resulting matrix is either upper or lower triangular, so that the determinant is the product of the diagonal entries. This product is 1, so that $A$ and $B$ are invertible.

With $A$ and $B$ having this form, the $(1,1)$-entry of $AB$ is 2 and the $(1,1)$-entry of BA is 1. If $1 = 2$ in $F$ then we have $0 = 1$, a contradiction. Since matrices are equal precisely when their corresponding entries are equal, we have $AB \neq BA$. Thus $GL_n(F)$ is nonabelian for $n \geq 2$ and for all fields $F$ where $0 \neq 1$. $\blacksquare$

• dayana cepeda  On May 15, 2010 at 3:27 pm

hola espero que esten bien
solo queria decirles que esta pagina es muy interesante los felicito.
por otro lado quisiera que me respondieran una pregunta referente al ejercicio 1.4 # 8 queria saber como asegurar que esas entradas que me dan para la matriz me forme una matriz invertible o no. gracias

• nbloomf  On May 15, 2010 at 10:21 pm

Gracias por leer!

Mi español es muy malo, así que utilicé Google Translate. Si he entendido bien, no es inmediatamente obvio que las matrices invertibles A y B existen.

Sí, esto podría ser más claro. Las matrices A y B existe siempre, consideras la matriz identidad con dimensiones (n,n) que el (1, n) o (n, 1) entrada 1 en lugar de 0. Estas matrices son triangulares superior e inferior, respectivamente, por lo que su factor determinante es el producto de las entradas diagonales. Dado que el determinante es 1, A y B son invertibles.

He editado la solución para hacer de este explícito.